Open Mapping Theorem

Definition / 释义

开映射定理：在数学中指一类重要结论，常见有两种经典版本：

1. 泛函分析版：若 (T: X \to Y) 是巴拿赫空间之间的连续线性满射，则 (T) 把 (X) 中的开集映成 (Y) 中的开集（因此称“开映射”）。
2. 复分析版：非常值的全纯函数（解析函数）是开映射，即把开集映为开集。
   （不同领域语境下具体表述略有差异，但核心都是“保持开性”。）

Pronunciation / 发音（IPA）

/ˈoʊpən ˈmæpɪŋ ˈθiːərəm/

Examples / 例句

The open mapping theorem says that certain surjective linear operators send open sets to open sets.
开映射定理说明：某些满射的线性算子会把开集映成开集。

In functional analysis, the open mapping theorem is used to prove that a bounded bijective linear operator between Banach spaces has a bounded inverse.
在泛函分析中，开映射定理常用来证明：巴拿赫空间之间的有界双射线性算子具有有界的逆算子。

Etymology / 词源

该术语由三部分组成：open（开）+ mapping（映射）+ theorem（定理），直译即“开映射定理”。名称强调结论的核心性质：映射会把“开”的集合仍然映成“开”的集合。泛函分析中的版本与 20 世纪早期的算子理论发展密切相关，通常与 Banach、Schauder 等人的工作同一历史脉络中被系统化与传播。

Related Words / 相关词

• Banach Space
• Bounded Operator
• Continuous
• Surjective
• Linear Operator
• Inverse Operator
• Closed Graph Theorem
• Uniform Boundedness Principle
• Holomorphic
• Conformal Mapping

Literary Works / 文献与著作中的常见出处

• Walter Rudin, Functional Analysis（常见于关于巴拿赫空间与有界算子的章节）
• John B. Conway, A Course in Functional Analysis
• Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications
• Serge Lang, Complex Analysis（复分析中关于全纯函数为开映射的讨论）
• Lars Ahlfors, Complex Analysis